Question

證明任意一對(duì)三角形面積之比等于它們的平行射影面積之比.

Answer 1

思路分析:我們可以按照從特殊到一般的證明思路.首先證明三角形與其投影具有兩公共頂點(diǎn).然后再證一般情況.

證明:(1)如圖3-1-7,△A₁B₁C₁與△A₂B₂C₂和△A₁′B₁′C₁′、△A₂′B₂′C₂′各有兩對(duì)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)A₁和A₁′,B₁和B₁′,A₂和A₂′,B₂和B₂′重合,在兩平面的交線g上.

圖3-1-7

∵C₁與C₁′,C₂與C₂′是射影對(duì)應(yīng)點(diǎn),

∴C₁C₁′∥C₂C₂′.

由這些點(diǎn)向?qū)��?yīng)軸直線g作垂線C₁H₁,C₁′H₁′,C₂H₂,C₂′H₂′.

設(shè)C₁C₂與C₁′C₂′相交于直線g上一點(diǎn)x,由相似三角形得

=,=.

∵C₁C₁′∥C₂C₂′,∴===k時(shí),

==k.

又∵△A₁B₁C₁與△A₁′B₁′C₁′同底,△A₂B₂C₂與△A₂′B₂′C₂′同底,

∴或=k,

其中k為常數(shù).

(2)當(dāng)三角形與其射影沒(méi)有公共頂點(diǎn)時(shí),如圖3-1-8.

圖3-1-8

在△A₁B₁C₁與其射影A₁′B₁′C₁′中,三對(duì)對(duì)應(yīng)邊相交于對(duì)應(yīng)軸g上.

由(1)中結(jié)論知:

=k,即=k.

=k,即=k.

=k,即=k.

∴=+-=k+k-k=k(+-)=k.

∴=k.同理,=k,

∴.