Question

20．設(shè)函數(shù)f（x）=|x+2|+|x-2|，x∈R，不等式f（x）≤6的解集為M．
（1）求M；
（2）當(dāng)a，b∈M時(shí)，證明：3|a+b|≤|ab+9|．

Answer 1

分析 （1）由條件利用絕對(duì)值的意義求出不等式f（x）≤6的解集M．
（2）用分析法證明此不等式，分析使此不等式成立的充分條件為（a²-9）（9-b²）≤0，而由條件a，b∈M可得（a²-9）（9-b²）≤0成立，從而證得要證的不等式．

解答 解：（1）不等式即|x+2|+|x-2|≤6，
而|x+2|+|x-2|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-2、2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，
-3和3對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-2、2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和正好等于6，
故不等式的解集為M=[-3，3]．
（2）要證3|a+b|≤|ab+9|，只要證9（a+b）²≤（ab+9）²，
即證：9（a+b）²-（ab+9）²=9（a²+b²+2ab）-（a²•b²+18ab+81）=9a²+9b²-a²•b²-81=（a²-9）（9-b²）≤0，
而由a，b∈M，可得-3≤a≤3，-3≤b≤3，
∴（a²-9）≤0，（9-b²）≥0，∴（a²-9）（9-b²）≤0成立，
故要證的不等式3|a+b|≤|ab+9|成立．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值的意義、絕對(duì)值不等式的解法，用分析法證明不等式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．