Question

14．已知函數(shù)f（x）=x²+2ax+2，a∈R．
（1）若函數(shù)F（x）=f[f（x）]與f（x）在x∈R時有相同的值域，求a的取值范圍；
（2）對任意x₁，x₂∈[-1，1]，恒有|f（x₁）-f（x₂）|≤6，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的對稱軸方程和f（x）的值域，由題意可得f（x）的最小值不大于f（x）的對稱軸，解不等式即可得到所求范圍；
（2）由題意可得f（x）在[-1，1]上的最大值與最小值之差M≤6，討論對稱軸x=-a和區(qū)間[-1，1]的關(guān)系，求得f（x）的最值，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（1）首先f（x）的對稱軸為x=-a，
x∈R時，$f（x）∈[{\frac{{8-4{a^2}}}{4}，+∞}）$，
因為函數(shù)F（x）=f[f（x）]與f（x）在x∈R時有相同的值域，
所以$\frac{{8-4{a^2}}}{4}≤-a$，
解得a≥2或a≤-1；
（2）對任意x₁，x₂∈[-1，1]都有|f（x₁）-f（x₂）|≤6
等價于在[-1，1]上的最大值與最小值之差M≤6，
據(jù)此分類討論如下：f（-1）=3-2a，f（-a）=2-a²，f（1）=3+2a，
（�。┊�(dāng)-a≤-1即a≥1時，$M=f（1）-f（{-1}）=4a≤6⇒a≤\frac{3}{2}$．
（ⅱ） 當(dāng)-1＜-a＜1，即-1＜a＜1時，$\left\{\begin{array}{l}f（1）-f（{-a}）≤6\\ f（{-1}）-f（{-a}）≤6\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}{（{a+1}）^2}≤6\\{（{a-1}）^2}≤6\end{array}\right.$恒成立．
（ⅲ）當(dāng)-a≥1，即a≤-1時，$M=f（{-1}）-f（1）=-4a≤6⇒a≥-\frac{3}{2}$．
綜上可知，$-\frac{3}{2}≤a≤\frac{3}{2}$．

點評 本題考查函數(shù)的值域和不等式恒成立問題的解法，注意運用轉(zhuǎn)化思想和分類討論的思想方法，考查運算能力，屬于中檔題．