Question

如圖,直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,C₁C=CB=CA=2,AC⊥CB,D是棱的中點(diǎn).

(1)求點(diǎn)B到平面A₁C₁CA的距離;

(2)求二面角BA₁DA的大小.

Answer 1

答案：解法一:(1)∵ABC—A₁B₁C₁是直三棱柱,

∴CC₁⊥底面ABC.∴CC₁⊥BC.

∵AC⊥BC,又AC∩CC₁=C,∴BC⊥平面A₁C₁CA.

∵BC=2,∴點(diǎn)B到平面A₁C₁CA的距離為2.

(2)分別延長AC、A₁D交于點(diǎn)G,過C作CM⊥A₁G于M,連結(jié)BM.∵BC⊥平面A₁C₁CA,∴CM為BM在平面A₁C₁CA內(nèi)的射影.根據(jù)三垂線定理,得BM⊥A₁G.∴∠CMB為二面角BA₁DA的平面角.

在平面A₁C₁CA中,∵C₁C=CA=2,D為C₁C的中點(diǎn),∴CG=2,DC=1.在Rt△DCG中,CM=,

∴tan∠CMB=.即二面角BA₁DA的大小為arctan.

解法二:(1)同解法一.

(2)在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,AC⊥BC,分別以向量、、所在直線為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則C(0,0,0),B(2,0,0),A(0,2,0),C₁(0,0,2),A₁(0,2,2),

D(0,0,1).

∴=(-2,0,1),=(-2,2,2).設(shè)平面A₁BD的一個法向量為m=(x,y,z),則

即令x=1,則z=2,y=-1,即m=(1,-1,2).

又平面A₁C₁CA的一個法向量為n=(1,0,0).∴cos〈m,n〉=,

即二面角BA₁DA的大小為arccos.