Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是BB₁、DC的中點．
（Ⅰ）求異面直線AE與D₁F所成的角；
（Ⅱ）證明：AE⊥平面A₁D₁F．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,異面直線及其所成的角

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）設正方體的棱長為1，建立空間直角坐標系D-xyz，利用向量法能求出異面直線AE與D₁F所成的角．（Ⅱ）由

D1A1

•

AE

=0，知AE⊥D₁A₁，由（Ⅰ）知AE⊥D₁F，由此能證明AE⊥平面A₁D₁F．

解答： （Ⅰ）解：如圖，設正方體的棱長為1，建立空間直角坐標系D-xyz，
則A（1，0，0），E（1，1，

1

2

），F(xiàn)（0，

1

2

，0），D₁（0，0，1），
∴

AE

=(0，1，

1

2

)，

D1F

=(0，

1

2

，-1)，
∵

AE

•

D1F

=0，∴

AE

⊥

D1F

，
∴異面直線AE與D₁F所成的角為90°．
（Ⅱ）證明：∵

DA

=

D1A1

=(1，0，0)，
∴

D1A1

•

AE

=0，
∴AE⊥D₁A₁，由（Ⅰ）知AE⊥D₁F，且D₁F∩D₁A₁=D₁，
∴AE⊥平面A₁D₁F．

點評：本題考查異面直線所成的角的求法，考查直線與平面垂直的證明，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．