Question

8．已知：如圖，四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，對角線AC、BD交于點E，直線AP是圓O的切線，切點為A，∠PAB=∠BAC．
（1）求證：AB²=BD•BE；
（2）若∠FED=∠CED，求證：點A、B、E、F四點共圓．

Answer 1

分析 （1）證明△ABD∽△EBA，即可證明AB²=BD•BE；
（2）證明∠BAF+∠BEF=∠BAD+∠BEF=∠FED+∠BEF=180°，即可證明點A、B、E、F四點共圓．

解答 證明：（1）∵直線AP是圓O的切線，切點為A，
∴∠PAB=∠ADB，
∴∠PAB=∠BAC，
∴∠ADB=∠BAC，
∵∠ABD=∠EBA，
∴△ABD∽△EBA，
∴$\frac{AB}{EB}$=$\frac{BD}{BA}$，
∴AB²=BD•BE；
（2）由（1）可知∠BAD=∠BEA，
∵∠BEA=∠CED，∠FED=∠CED，
∴∠BAD=∠FED，
∴∠BAF+∠BEF=∠BAD+∠BEF=∠FED+∠BEF=180°
∴點A、B、E、F四點共圓．

點評 本題考查三角形相似的證明，考查四點共圓，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．