Question

7．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n=2+1+$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{4}$+$\frac{2}{5}$+…+$\frac{2}{{2}^{n}}$，則a₁₀₁-a₁₀₀的整數(shù)部分為（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 根據(jù)條件求出a₁₀₁-a₁₀₀的表達(dá)式，并判斷a₁₀₁-a₁₀₀的取值范圍即可得到結(jié)論．

解答 解：∵a_n=2+1+$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{4}$+$\frac{2}{5}$+…+$\frac{2}{{2}^{n}}$，
∴a₁₀₀=2+1+$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{4}$+$\frac{2}{5}$+…+$\frac{2}{{2}^{100}}$，
a₁₀₁=2+1+$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{4}$+$\frac{2}{5}$+…+$\frac{2}{{2}^{100}}$+$\frac{2}{{2}^{100}+1}$+…+$\frac{2}{{2}^{100}+{2}^{100}}$，
則a₁₀₁-a₁₀₀=$\frac{2}{{2}^{100}+1}$+…+$\frac{2}{{2}^{100}+{2}^{100}}$，
∵$\frac{2}{{2}^{100}+1}$+…+$\frac{2}{{2}^{100}+{2}^{100}}$＜$\frac{2}{{2}^{100}+1}$+$\frac{2}{{2}^{100}+1}$…+$\frac{2}{{2}^{100}+1}$=$\frac{2×{2}^{100}}{{2}^{100}+1}$＜2，

$\frac{2}{{2}^{100}+1}$+…+$\frac{2}{{2}^{100}+{2}^{100}}$＞$\frac{2}{{2}^{100}+{2}^{100}}$+$\frac{2}{{2}^{100}+{2}^{100}}$+…+$\frac{2}{{2}^{100}+{2}^{100}}$=$\frac{2×{2}^{100}}{{2}^{100}+{2}^{100}}$=1，
即$\frac{2}{{2}^{100}+1}$+…+$\frac{2}{{2}^{100}+{2}^{100}}$∈（1，2），
故a₁₀₁-a₁₀₀的整數(shù)部分為1，
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)列的遞推關(guān)系的應(yīng)用，根據(jù)條件求出a₁₀₁-a₁₀₀的表達(dá)式，并判斷a₁₀₁-a₁₀₀的取值范圍是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．