Question

已知數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足a₁=b₁，且對任意n∈N^*都有a_n+b_n=1，

an+1

an

=

bn

1- a 2 n

．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）證明：

a2

b2

+

a3

b   3

+

a4

b 4

+…+

an+1

bn+1

＜ln(1+n)＜

a1

b1

+

a2

b   2

+

a3

b 3

+…+

an

bn

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)對任意n∈N^*都有a_n+b_n=1，

an+1

an

=

bn

1- a 2 n

，

an+1

an

=

bn

1- a 2 n

=

1-an

1- a 2 n

=

1

1+an

，進行變形可得

1

an+1

-

1

an

=1，構造等差數(shù)列{

1

an

}，即可求出其通項公式，進而求得數(shù)列{a_n}的通項公式，并代入

an+1

an

=

bn

1- a n 2

可求得{b_n}的通項公式；
（2）對于不等式的右邊，可以構造函數(shù)f（x）=ln（1+x）-x，，利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可證得結論；對于不等式的左邊，構造函數(shù)f(x)=ln(1+x)-

x

1+x

，利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可證得結論．

解答：（1）解：∵對任意n∈N^*都有a_n+b_n=1，

an+1

an

=

bn

1- a 2 n

，
∴

an+1

an

=

bn

1- a 2 n

=

1-an

1- a 2 n

=

1

1+an

．
∴

1

an+1

=

1

an

+1，即

1

an+1

-

1

an

=1．
∴數(shù)列{

1

an

}是首項為

1

a1

，公差為1的等差數(shù)列．
∵a₁=b₁，且a₁+b₁=1，
∴a₁=b₁=

1

2

．
∴

1

an

=2+(n-1)=n+1．
∴an=

1

n+1

，bn=1-an=

n

n+1

，
（2）證明：∵an=

1

n+1

，bn=

n

n+1

，∴

an

bn

=

1

n

．
∴所證不等式

a2

b2

+

a3

b 3

+

a4

b 4

+…+

an+1

bn+1

＜ln(1+n)＜

a1

b1

+

a2

b 2

+

a3

b 3

+…+

an

bn

，
即

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n+1

＜ln(1+n)＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

．
①先證右邊不等式：ln(1+n)＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

．
令f（x）=ln（1+x）-x，則f′(x)=

1

1+x

-1=-

x

1+x

．
當x＞0時，f′（x）＜0，
所以函數(shù)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減．
∴當x＞0時，f（x）＜f（0）=0，即ln（1+x）＜x．
分別取x=1，

1

2

，

1

3

，，

1

n

．
得ln(1+1)+ln(1+

1

2

)+ln(1+

1

3

)+…+ln(1+

1

n

)＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

．
即ln[(1+1)•(1+

1

2

)•(1+

1

3

)…(1+

1

n

)]＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

．
也即ln(2×

3

2

×

4

3

×…×

n+1

n

)＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

．
即ln(1+n)＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

．
②再證左邊不等式：

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n+1

＜ln(1+n)．
令f(x)=ln(1+x)-

x

1+x

，則f′(x)=

1

1+x

-

1

(1+x)2

=

x

(1+x)2

．
當x＞0時，f′（x）＞0，
所以函數(shù)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增．
∴當x＞0時，f（x）＞f（0）=0，即ln(1+x)＞

x

1+x

．
分別取x=1，

1

2

，

1

3

，，

1

n

．
得ln(1+1)+ln(1+

1

2

)+ln(1+

1

3

)+…+ln(1+

1

n

)＞

1

2

+

1

3

+…+

1

1+n

．
即ln[(1+1)•(1+

1

2

)•(1+

1

3

)••(1+

1

n

)]＞

1

2

+

1

3

+…+

1

1+n

．
也即ln(2×

3

2

×

4

3

×…×

n+1

n

)＞

1

2

+

1

3

+…+

1

1+n

．
即ln(1+n)＞

1

2

+

1

3

+…+

1

1+n

．
∴

a2

b2

+

a3

b 3

+

a4

b 4

+…+

an+1

bn+1

＜ln(1+n)＜

a1

b1

+

a2

b 2

+

a3

b 3

+…+

an

bn

．

點評：此題是個難題．考查根據(jù)數(shù)列的遞推公式利用構造法求數(shù)列的通項公式，及數(shù)列的求和問題，題目綜合性強，特別是問題（2）的設置，數(shù)列與不等式恒成立問題結合起來，能有效考查學生的邏輯思維能力和靈活應用知識分析解決問題的能力，體現(xiàn)了轉化的思想和分類討論的思想．