Question

如圖，橢圓的上頂點(diǎn)B，M、N是橢圓C上異于點(diǎn)B的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）若M為橢圓C的下頂點(diǎn)，N為橢圓C的右頂點(diǎn)，求△BMN外接圓的方程；
（2）若動(dòng)點(diǎn)M、N關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，試求直線BM與BN的斜率之積．

Answer 1

【答案】分析：法一：（1）依題意，得B（0，1），N（2，0），M（0，-1），由，得直線l的方程為y-=2（x-1），由此能求出△BMN外接圓的方程．
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（-x₁，-y₁），則，，由此能求出直線BM與BN的斜率之積．
法二：（1）由已知，得B（0，1），N（2，0），M（0，-1），設(shè)△BMN的外接圓方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，由此能求出△BMN外接圓的方程．
（2）設(shè)MN的方程為y=kx，由，得，或，由此能求出直線BM與BN的斜率之積．
解答：解法一：（1）依題意，得B（0，1），N（2，0），M（0，-1），
∵，
∴BN的垂直平分線l的斜率k_l=2，
∵BN的中點(diǎn)為（1，），
∴直線l的方程為y-=2（x-1），
令y=0，得x=，
∴外接圓圓心的坐標(biāo)為（），
∴外接圓半徑為2-=，
∴△BMN外接圓的方程為．

（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（-x₁，-y₁），
∴，，
∴k_BM•k_BN==，
∵，
∴，
∴=-．

解法二：（1）由已知，得B（0，1），N（2，0），M（0，-1），
設(shè)△BMN的外接圓方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
則，
解得，
∴所求圓的方程為．
（2）直線MN的斜率顯然存在，設(shè)MN的方程為y=kx，
由，得，或，
∴k_BM•k_BN==-．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)、圓的方程、直線的斜率等基礎(chǔ)知識(shí)、考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力、考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想．