Question

1．設(shè)O是坐標(biāo)原點，AB是圓錐曲線的一條不經(jīng)過點O且不垂直于坐標(biāo)軸的弦，M是弦AB的中點，k_ab，k_cm分別表示直線AB，OM的斜率，在圓x²+y²=r²中，k_ab•k_cm=-1，在橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）中，類比上述結(jié)論可得若AB是圓錐曲線的一條不經(jīng)過點O且不垂直于坐標(biāo)軸的弦，M是弦AB的中點，則k_AB•k_OM=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$．

Answer 1

分析 本題考查的知識點是類比推理，由圓的性質(zhì)類比猜想橢圓的類似性質(zhì)，一般的思路是：點到點，線到線，直徑到直徑等類比后的結(jié)論應(yīng)該為關(guān)于橢圓的一個類似結(jié)論．

解答 解：定理：如果圓x²+y²=r²（r＞0）上異于一條直徑兩個端點的任意一點與這條直徑兩個端點連線的都斜率存在，則這兩條直線的斜率乘積為定值-1，即k_AB•k_OM=-1．
運用類比推理，寫出該定理在橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1中的推廣：若AB是圓錐曲線的一條不經(jīng)過點O且不垂直于坐標(biāo)軸的弦，M是弦AB的中點，則k_AB•k_OM=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$
故答案為：若AB是圓錐曲線的一條不經(jīng)過點O且不垂直于坐標(biāo)軸的弦，M是弦AB的中點，則k_AB•k_OM=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$．

點評 類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題（猜想）．