Question

13．橢圓上上存在一點P，使得PF₁=4PF₂，則離心率e的范圍是[$\frac{3}{5}$，1）．

Answer 1

分析 設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），焦點F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），運用橢圓的定義和橢圓上一點到焦點的距離的范圍，結(jié)合離心率公式和范圍，即可得到所求范圍．

解答 解：設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
焦點F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
由橢圓的定義可得PF₁+PF₂=2a，
又PF₁=4PF₂，可得
PF₂=$\frac{2}{5}$a，
由a-c≤$\frac{2}{5}$a≤a+c，
可得c≥$\frac{3}{5}$a，
即有e=$\frac{c}{a}$≥$\frac{3}{5}$，
由于0＜e＜1，即有$\frac{3}{5}$≤e＜1．
故答案為：[$\frac{3}{5}$，1）．

點評 本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì)，考查離心率的范圍，注意定義法和離心率公式的運用，屬于中檔題．