Question

已知曲線y=2sinx與曲線y=ax²+bx+的一個交點P的橫坐標為，且兩曲線在交點P處的切線與兩坐標軸圍成的四邊形恰好有外接圓，則a與b的值分別為（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：先根據(jù)條件求出點P的坐標，再代入曲線y=ax²+bx+上得到關于a與b的一個關系式；求出兩切線方程，再結合兩曲線在交點P處的切線與兩坐標軸圍成的四邊形恰好有外接圓對應的兩切線斜率乘積為-1得到關于于a與b的另一個關系式，聯(lián)立兩個關系式即可求出答案．
解答：解：因為點P橫坐標，
點P在y=2sinx上，因此點P坐標是（，）；
點P在y=ax²+bx+上，因此有a+b=0①
y=2sinx在點P處的切線的斜率為2cos=-1，
因為兩切線與兩坐標軸圍成的四邊形恰有外接圓，且P點在第一象限．
因此兩切線垂直（有外接圓的四邊形對角和為180度）．即兩切線斜率乘積為-1．
因此，y=ax²+bx+在點P處的斜率為1．
又y′=2ax+b可以得出其在點P處的斜率為2a×+b=1 ②．
由①②得：．
故選：D．
點評：本題主要考查圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)與判定以及利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．解決本題的關鍵在于結合兩曲線在交點P處的切線與兩坐標軸圍成的四邊形恰好有外接圓得到對應的兩切線斜率乘積為-1．