Question

 

如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ADEF是正方形，F(xiàn)A⊥平面ABCD，BC∥AD，CD=1，AD=，∠BAD＝∠CDA＝45°.

（Ⅰ）求異面直線CE與AF所成角的余弦值；     

（Ⅱ）證明CD⊥平面ABF；

（Ⅲ）求二面角B-EF-A的正切值。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 【解析】本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力，運(yùn)算能力和推理論證能力.滿分12分.

(I)解：因?yàn)樗倪呅蜛DEF是正方形，所以FA//ED.故為異面直線CE與AF所成的角.

因?yàn)镕A平面ABCD，所以FACD.故EDCD.

在Rt△CDE中，CD=1，ED=，CE==3,故cos==.

所以異面直線CE和AF所成角的余弦值為.

(Ⅱ)證明：過(guò)點(diǎn)B作BG//CD,交AD于點(diǎn)G，則.由,可得BGAB,從而CDAB,又CDFA,FAAB=A,所以CD平面ABF.

(Ⅲ)解：由（Ⅱ）及已知，可得AG=，即G為AD的中點(diǎn).取EF的中點(diǎn)N，連接GN，則GNEF,因?yàn)锽C//AD,所以BC//EF.過(guò)點(diǎn)N作NMEF，交BC于M，則為二面角B-EF-A的平面角。

連接GM，可得AD平面GNM,故ADGM.從而B(niǎo)CGM.由已知，可得GM=.由NG//FA,FAGM,得NGGM.

在Rt△NGM中，tan,

所以二面角B-EF-A的正切值為.