Question

2．已知函數(shù)f（x）=-x²+（a-1）x+a-1，g（x）=x（x-a）²-1，其中a為實數(shù)．
（1）是否存在x₀∈（0，1），使得f（x₀）+1=0？若存在，求出實數(shù)a的取值范圍；若不存在，請說明理由．
（2）若集合A={x|f（x）•g（x）=0，x∈R}中恰有5個元素，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由f（x）+1=-x²+（a-1）x+a=0，解得x=-1或x=a．即可判斷出結(jié)論．
（2）f（x）=-x²+（a-1）x+a-1=0有2相異解實根時，△＞0，解得a范圍．g（x）=x（x-a）²-1=0，g′（x）=（x-a）（3x-a），對a分類討論，利用導數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）由f（x）+1=-x²+（a-1）x+a=0，
解得x=-1或x=a．
當a∈（0，1）時，存在x₀∈（0，1），使得f（x₀）+1=0．
（2）f（x）=-x²+（a-1）x+a-1=0有2相異解實根時，
△=（a-1）²+4（a-1）＞0，∴a＜-3，或a＞1．
g（x）=x（x-a）²-1=0，g′（x）=（x-a）（3x-a），
當a=0時，g′（x）≥0，g（x）=0有1解；
當a＜0時，$a＜\frac{a}{3}$，$g（x）在（{-∞，a}）上增，（{a，\frac{a}{3}}）上減，（{\frac{a}{3}，+∞}）上增$，
極大值g（a）=-1＜0，g（x）=0有1解； 
當a＞0時，$a＞\frac{a}{3}$，$g（x）在（{-∞，\frac{a}{3}}）上增，（{\frac{a}{3}，a}）上減，（{a，+∞}）上增$，
極小值g（a）=-1＜0，
要使g（x）=0有3解，只須$g（{\frac{a}{3}}）＞0$，∴$a＞\frac{{3\root{3}{2}}}{2}$．
下面用反證法證明$a＞\frac{{3\root{3}{2}}}{2}$時，5個根相異．
假設?x₀∈R，f（x₀）=g（x₀）=0，
即$\left\{\begin{array}{l}-{x_0}^2+（{a-1}）{x_0}+a-1=0\\{x_0}{（{{x_0}-a}）^2}-1=0\end{array}\right.$兩式相減得：$（{{x_0}-a}）（{{x_0}^2-a{x_0}+{x_0}+1}）=0$，
若x₀=a代入②得0-1=0矛盾；
若${x_0}^2-a{x_0}+{x_0}+1=0$代入①得a=0，這與$a＞\frac{{3\root{3}{2}}}{2}$矛盾．
∴假設不成立，即5個根相異．
綜上，$a＞\frac{{3\root{3}{2}}}{2}$．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性極值與最值、函數(shù)的零點、反證法、二次函數(shù)與判別式的關(guān)系，考查了分類討論思想方法、推理能力與計算能力，屬于難題．