Question

2．已知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（-2，0）、（2，0），直線AT、BT交于點(diǎn)T，且它們的斜率之積為常數(shù)-λ（λ＞0，λ≠1），點(diǎn)T的軌跡以及A、B兩點(diǎn)構(gòu)成曲線C．
（Ⅰ）求曲線C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ）若0＜λ＜1，且曲線C上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的最小距離為1．設(shè)直線l：x=my+1交曲線C于M、N，直線AM、BN交于點(diǎn)P．
（�。┊�(dāng)m=0時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（ⅱ）當(dāng)m變化時(shí)，是否存在直線l₁，使P總在直線l₁上？若存在，求出l₁的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)T（x，y），由直線的斜率公式，化簡(jiǎn)整理討論即可得到曲線方程；
（Ⅱ）由于0＜λ＜1，曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，求得焦點(diǎn)和a-c為最小值，解得λ，進(jìn)而得到橢圓方程，
（ⅰ）當(dāng)m=0時(shí)，由x=1代入橢圓方程，即可得到P的坐標(biāo)；（ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），聯(lián)立$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$及x=my+1，運(yùn)用韋達(dá)定理和恒成立思想，即可得到定直線x=4．

解答 （Ⅰ）解：設(shè)T（x，y），則$\frac{y}{x+2}•\frac{y}{x-2}=-λ$，化簡(jiǎn)得$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{4λ}=1（x≠±2）$
又A、B的坐標(biāo)（-2，0）、（2，0）也符合上式
故曲線C：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{4λ}=1（λ＞0，λ≠1）$，
當(dāng)0＜λ＜1時(shí)，曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，焦點(diǎn)為$（-2\sqrt{1-λ}，0），（2\sqrt{1-λ}，0）$，
當(dāng)λ＞1時(shí)，曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，焦點(diǎn)為$（0，-2\sqrt{λ-1}），（0，2\sqrt{λ-1}）$；
（Ⅱ）解：由于0＜λ＜1，曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，其焦點(diǎn)為$（-2\sqrt{1-λ}，0），（2\sqrt{1-λ}，0）$，
橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)到同側(cè)焦點(diǎn)的距離，是橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最小距離，
故$2-2\sqrt{1-λ}=1$，∴$λ=\frac{3}{4}$，曲線C的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（ⅰ）由聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$解得$M（1，\frac{3}{2}），N（1，-\frac{3}{2}）$或$N（1，\frac{3}{2}），M（1，-\frac{3}{2}）$，
當(dāng)$M（1，\frac{3}{2}），N（1，-\frac{3}{2}）$時(shí)，$AM：y=\frac{1}{2}（x+2），BN：y=\frac{3}{2}（x-2）$，解得P（4，3），
當(dāng)$N（1，\frac{3}{2}），M（1，-\frac{3}{2}）$時(shí)，由對(duì)稱性知，P（4，-3），
所以點(diǎn)P坐標(biāo)為（4，3）或（4，-3）；
（ⅱ）由（�。┲�，若存在，直線l₁只能是x=4．
以下證明當(dāng)m變化時(shí)，點(diǎn)P總在直線x=4上．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），聯(lián)立$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$及x=my+1，
消去x得：（3m²+4）y²+6my-9=0，${y_1}+{y_2}=-\frac{6m}{{3{m^2}+4}}，{y_1}{y_2}=-\frac{9}{{3{m^2}+4}}$，
直線$AM：y=\frac{y_1}{{{x_1}+2}}（x+2），BN：y=\frac{y_2}{{{x_2}-2}}（x-2）$，
消去y得$x=\frac{{2{y_1}（{x_2}-2）+2{y_2}（{x_1}+2）}}{{{y_2}（{x_1}+2）-{y_1}（{x_2}-2）}}=\frac{{4m{y_1}{y_2}-2{y_1}+6{y_2}}}{{{y_1}+3{y_2}}}$，
以下只需證明$\frac{{4m{y_1}{y_2}-2{y_1}+6{y_2}}}{{{y_1}+3{y_2}}}=4?4m{y_1}{y_2}-6（{y_1}+{y_2}）=0$※對(duì)于m∈R恒成立．
而$4m{y_1}{y_2}-6（{y_1}+{y_2}）=4m•（-\frac{9}{{3{m^2}+4}}）-6•（-\frac{6m}{{3{m^2}+4}}）=\frac{{-36{m^2}+36{m^2}}}{{3{m^2}+4}}=0$，
所以※式恒成立，即點(diǎn)P橫坐標(biāo)總是4，點(diǎn)P總在直線x=4上
故存在直線l₁：x=4，使P總在直線l₁上．

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線方程的求法，主要考查橢圓的性質(zhì)和方程的運(yùn)用．聯(lián)立直線方程運(yùn)用韋達(dá)定理以及恒成立思想的運(yùn)用，屬于中檔題．