Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a_n≠0，a₁=1，a_n=（1-2n）a_na_n-1+a_n-1（n≥2），數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求證：當(dāng)n≥2時(shí)，；
（3）試探究：當(dāng)n≥2時(shí)，是否有？說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題可得a_n=（1-2n）a_na_n-1+a_n-1，兩邊同時(shí)除以a_na_n-1可得，所以進(jìn)而得到答案．
（2）根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式得特征可得：，，進(jìn)而通過(guò)放縮法證明原不等式．
（3）根據(jù)所證不等式的特征可得：，利用放縮法可得；由（2）可得只需證明即可，
即證明2n+1＞6成立即可，顯然經(jīng)過(guò)驗(yàn)證可得此不等式正確．
解答：解：（1）∵a_n≠0
∴a_na_n-1≠0（n≥2）
∴，
即即有，
∴=1+3+5+7+…+（2n-1）=（n≥2）
又也適合上式，
∴．
（2）證明：∵
∴
∵當(dāng)n≥2時(shí)，
∴=＜2．
又∵
∴=
∴當(dāng)n≥2時(shí)，．
（3）∵
∴
=
當(dāng)n≥2時(shí)，要只需
即需2n+1＞6，顯然這在n≥3時(shí)成立
而，當(dāng)n≥2時(shí)顯然
即當(dāng)n≥2時(shí)也成立
綜上所述：當(dāng)n≥2時(shí)，有．
點(diǎn)評(píng)：本題出現(xiàn)的問(wèn)題是求通項(xiàng)求和過(guò)程中的運(yùn)算不過(guò)關(guān)，解決與數(shù)列有關(guān)的不等式問(wèn)題時(shí)一般利用的方法是放縮法．