Question

（本小題滿分12分）已知橢圓，離心率為的橢圓經(jīng)過點(diǎn).

（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)且互相垂直的直線分別與橢圓交于和，是否存在常數(shù)，使得？若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）存在實(shí)數(shù)，使得.理由見解析

【解析】

試題分析：（1）由題可知，即，

由此得，故橢圓方程是，

將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，解得，

故橢圓方程是.                                                ……4分

（2）問題等價(jià)于，即是否是定值問題.

橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是，不妨取焦點(diǎn)，

當(dāng)直線的斜率存在且不等于零時(shí)，

設(shè)直線的斜率為，則直線的方程是，

代入橢圓方程并整理得 

設(shè)，則.                  ……6分

根據(jù)弦長(zhǎng)公式，

 =

==                                       ……8分

以代換，得                       ……9分

所以 

即                                         ……10分

當(dāng)直線的斜率不存在或等于零時(shí)，

一個(gè)是橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，一個(gè)是通徑長(zhǎng)度，

此時(shí)，即.

綜上所述，故存在實(shí)數(shù)，使得.         ……12分

考點(diǎn)：本小題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解和直線與橢圓的位置關(guān)系以及弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算能力.

點(diǎn)評(píng)：圓錐曲線問題一般難度較大，要仔細(xì)分析，仔細(xì)運(yùn)算，另外設(shè)直線方程時(shí)，要考慮到直線的斜率是否存在.