Question

17．已知△ABC中，a=1，b=c=4，求∠B和角平分線BD的長（D為AC與BD的交點）．

Answer 1

分析 如圖所示，取BC的中點E，連接AE，由b=c，可得AE⊥BC，∠B=∠C．利用cosB=$\frac{BE}{AB}$即可得出．由BD是∠B的角平分線，可得$\frac{CD}{AD}=\frac{BC}{AB}$，即可解出CD，在△BCE中，由余弦定理可得：BD²=BC²+CD²-2BC•CD•cosC，即可解出．

解答 解：如圖所示，
取BC的中點E，連接AE，∵b=c，
∴AE⊥BC，∠B=∠C．
∴cosB=$\frac{BE}{AB}$=$\frac{\frac{1}{2}}{4}$=$\frac{1}{8}$．
∵BD是∠B的角平分線，
則$\frac{CD}{AD}=\frac{BC}{AB}$，∴$\frac{CD}{AC}=\frac{BC}{AB+BC}$，
∴$\frac{CD}{4}=\frac{1}{5}$，解得CD=$\frac{4}{5}$．
在△BCE中，由余弦定理可得：BD²=BC²+CD²-2BC•CD•cosC=$1+（\frac{4}{5}）^{2}-2×1×\frac{4}{5}×\frac{1}{8}$=$\frac{36}{25}$，
∴BD=$\frac{6}{5}$．

點評 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系、余弦定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．