Question

16．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=0，a_n+1=a_n+$\frac{1}{n（n+1）}$+1．
（1）證明數(shù)列{a_n+$\frac{1}{n}$}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）（理科）設(shè)數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}的前n項和為S_n，證明S_n＜$\frac{{n}^{2}}{n+1}$．
（文科）設(shè)b_n=$\frac{{a}_{n}}{n+1}$，求數(shù)列{b_n}前n項和．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=a_n+$\frac{1}{n（n+1）}$+1得a_n+1-a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$+1，代入當n≥2時，（a_n+$\frac{1}{n}$）-（a_n-1+$\frac{1}{n-1}$）化簡后，由等差數(shù)列的定義即可證明，再由等差數(shù)列的通項公式求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）理科：由（1）得$\frac{{a}_{n}}{n}$=1-$\frac{1}{{n}^{2}}$，求出前n項和為S_n，利用$\frac{1}{{n}^{2}}＞\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，由裂項求和法和不等式的性質(zhì)即可證明；
文科：由（1）化簡b_n=$\frac{{a}_{n}}{n+1}$后，求出數(shù)列{b_n}前n項和．

解答 （1）證明：因為a_n+1=a_n+$\frac{1}{n（n+1）}$+1，則a_n+1-a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$+1，
所以當n≥2時，（a_n+$\frac{1}{n}$）-（a_n-1+$\frac{1}{n-1}$）=a_n+$\frac{1}{n}$-（a_n-1+$\frac{1}{n-1}$）
=$\frac{1}{n（n-1）}$+1+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n-1}$=1，
又a₁=0，則a₁+$\frac{1}{1}$=1，
所以數(shù)列{a_n+$\frac{1}{n}$}是以1為首項、公差的等差數(shù)列，
則a_n+$\frac{1}{n}$=1+（n-1）=n，所以${a}_{n}=n-\frac{1}{n}$；
（2）證明：（理科）由（1）得，$\frac{{a}_{n}}{n}$=1-$\frac{1}{{n}^{2}}$，
所以數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}的前n項和為S_n=n-（$\frac{1}{{1}^{2}}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{n}^{2}}$），
因為$\frac{1}{{n}^{2}}＞\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
所以$\frac{1}{{1}^{2}}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{n}^{2}}$＞（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）=1-$\frac{1}{n+1}$，
所以S_n=n-（$\frac{1}{{1}^{2}}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{n}^{2}}$）＜n-（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{{n}^{2}}{n+1}$，
即S_n＜$\frac{{n}^{2}}{n+1}$．
解：（文科）由（1）得，b_n=$\frac{{a}_{n}}{n+1}$=$\frac{1}{n+1}（n-\frac{1}{n}）$=$\frac{n}{n+1}$-$\frac{1}{n（n+1）}$
=$\frac{n}{n+1}$-$\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n}$，
所以數(shù)列{b_n}前n項和T_n=n-（1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}$）．

點評 本題考查等差數(shù)列的定義、通項公式，裂項求和法求數(shù)列的和，以及放縮法證明不等式，考查了推理能力與化簡能力，屬于難題．