Question

已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0,0≤φ≤π)是R上的偶函數(shù),其圖象關于點M(,0)對稱,且在區(qū)間［0,］上是單調函數(shù),求φ和ω的值.

Answer 1

解:由f(x)是偶函數(shù),得f(-x)=f(x),

即sin(-ωx+φ)=sin(ωx+φ),

所以-cosφsinωx=cosφsinωx,對任意x都成立,且ω＞0,

所以得cosφ=0.

依題設0≤φ≤π,所以解得φ=.

由f(x)的圖象關于點M對稱得f(-x)=-f(+x),取x=0,得f()=sin(+)=cos,

∴cos=0.

又ω＞0,得=+kπ,k=1,2,3,…,

∴ω=(2k+1),k=0,1,2,…

當k=0時,ω=,f(x)=sin(x+)在［0,］上是減函數(shù);

當k=1時,ω=2,f(x)=sin(2x+)在［0,］上是減函數(shù);

當k≥0時,ω=,f(x)=sin(ωx+)在［0, ］上不是單調函數(shù).

所以綜合得ω=或ω=2.