Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-

1

2

ax²+bx（a＞0）且f′（1）=0．
（Ⅰ）試用含a式子表示b；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若a=2，試求f（x）在區(qū)間[c，c+

1

2

]（c＞0）上的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞），由f′(x)=

1

x

-ax+b，知f′（1）=1-a+b=0，由此得到b=a-1．
（Ⅱ）將b=a-1代入f′(x)=

1

x

-ax+b，得f′(x)=

1

x

-ax+a-1．當(dāng)f′（x）＞0時，-

(ax+1)(x-1)

x

＞0，由x＞0，得（ax+1）（x-1）＜0，由此能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅲ）當(dāng)c+

1

2

≤1時，f（x）在[c，c+

1

2

]上單調(diào)遞增．所以f(x)max=f(c+

1

2

)=ln（c+

1

2

）+

1

4

-c2．由此能求出f（x）在區(qū)間[c，c+

1

2

]（c＞0）上的最大值．

解答：解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞），…（2分）
∵f′(x)=

1

x

-ax+b，f′（1）=1-a+b=0，
得：b=a-1．…（4分）
（Ⅱ）將b=a-1代入f′(x)=

1

x

-ax+b，
得f′(x)=

1

x

-ax+a-1
=-

(ax+1)(x-1)

x

．…（6分）
當(dāng)f′（x）＞0時，-

(ax+1)(x-1)

x

＞0，
由x＞0，得（ax+1）（x-1）＜0，
∵a＞0，
∴0＜x＜1，即f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，
當(dāng)f′（x）＜0時，-

(ax+1)(x-1)

x

＜0，
由x＞0，得（ax+1）（x-1）＞0，
∵a＞0，∴x＞1，
即f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減．
∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減．…（9分）
（Ⅲ）當(dāng)c+

1

2

≤1，即0＜c≤

1

2

時，f（x）在[c，c+

1

2

]上單調(diào)遞增．
所以f(x)max=f(c+

1

2

)
=ln（c+

1

2

）-（c+

1

2

）²+c+

1

2

=ln（c+

1

2

）+

1

4

-c2．…（11分）
當(dāng)

c＜ 1 2 c+ 1 2 ＞1

，即

1

2

＜c＜1時，f（x）在[c，1]上單調(diào)遞增，在[1，c+

1

2

]上單調(diào)遞減，
所以f（x）_max=f（1）=0．…（13分）
當(dāng)c≥1時，f（x）在[c，c+

1

2

]上單調(diào)遞減．
所以f(x)max=f(c)=lnc-c2+c．…（15分）
綜上：f(x)max=

ln(c+ 1 2 )-c2+ 1 4 ，0＜c≤ 1 2 0， 1 2 ＜c＜1 lnc-c2+c，c≥1

．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值，考查運(yùn)算求解能力，考查論證推理能力，綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．