Question

（2004•河西區(qū)一模）解關(guān)于x的不等式

x-a

x

＞|x|，其中a＞0．

Answer 1

分析：原不等式等價(jià)于（I）

x＞0 x-a x ＞x

，或（II）

x＜0 x-a x ＞-x

．分別利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得（I）和（II）的解集，再取并集，即得所求．

解答：解：等價(jià)于（I）

x＞0 x-a x ＞x

，或（II）

x＜0 x-a x ＞-x

．
（I）等價(jià)于

x＞0 x2-x+a x ＜0

，等價(jià)于

x＞0 x2-x+a＜0

，由于x²-x+a＜0 的判別式△=1-4a，
故當(dāng)0＜a＜

1

4

時(shí)， △＞0，其解集為

1- 1-4a

2

＜x＜

1+ 1-4a

2

，
再由1-4a＜1，可得（I）的解集為{x|

1- 1-4a

2

＜x＜

1+ 1-4a

2

}．
當(dāng)≥

1

4

 時(shí)，△＜0，不等式（I）的解集為∅．
（II）等價(jià)于

x＜0 x2+x-a x ＞0

?

x＜0 x2+x-a＜0

，由于x²+x-a＜0的△=1+4a＞0，
其解為

-1- 1+4a

2

＜x＜

-1+ 1+4a

2

．
∵a＞0，1+4a＞1，

-1+ 1+4a

2

＞0，∴（II）的解集為{x|

-1- 1+4a

2

＜x＜0}．
綜上可得，當(dāng)0＜a＜

1

4

時(shí)，原不等式解集為{x|

-1- 1+4a

2

＜x＜0或

1- 1-4a

2

＜x＜

1+ 1-4a

2

}；
當(dāng)a≥

1

4

時(shí)，原不等式的解集為 { x|

-1- 1+4a

2

＜x＜0 }．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查分式不等式、一元二次不等式的解法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．