Question

11．解關(guān)于x的不等式：a（a-1）x²-（2a-1）x+1＞0，其中α∈R．

Answer 1

分析 把不等式化為（ax-1）[（a-1）x-1]＞0，討論a＜0、a=0、0＜a＜1、a=1和a＞1時(shí)，不等式對應(yīng)的解集即可．

解答 解：不等式a（a-1）x²-（2a-1）x+1＞0化為（ax-1）[（a-1）x-1]＞0；
①當(dāng)a＜0時(shí)，a-1＜0，不等式為（x-$\frac{1}{a}$）（x-$\frac{1}{a-1}$）＞0，且$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}{a-1}$；
解不等式得x＜$\frac{1}{a}$或x＞$\frac{1}{a-1}$；
②當(dāng)a=0時(shí)，不等式為x+1＞0，解得x＞-1；
③當(dāng)0＜a＜1時(shí)，a-1＜0，不等式為（x-$\frac{1}{a}$）（x-$\frac{1}{a-1}$）＜0，
解不等式得$\frac{1}{a-1}$＜x＜$\frac{1}{a}$；
④當(dāng)a=1時(shí)，不等式為x-1＜0，解得x＜1；
⑤當(dāng)a＞1時(shí)，a-1＞0，不等式為（x-$\frac{1}{a}$）（x-$\frac{1}{a-1}$）＞0，且$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}{a-1}$，
解不等式得x＜$\frac{1}{a}$或x＞$\frac{1}{a-1}$；
綜上，a＜0時(shí)，不等式的解集為（-∞，$\frac{1}{a}$）∪（$\frac{1}{a-1}$，+∞）；
a=0時(shí)，不等式的解集為（-1，+∞）；
0＜a＜1時(shí)，不等式的解集為（$\frac{1}{a-1}$，$\frac{1}{a}$）；
a=1時(shí)，不等式的解集為（-∞，1）；
a＞1時(shí)，不等式的解集為（-∞，$\frac{1}{a}$）∪（$\frac{1}{a-1}$，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查了含有字母系數(shù)的不等式的解法與應(yīng)用問題，是難題．