Question

【題目】已知函數(shù)的圖象與軸相切， ．

（Ⅰ）求證： ；

（Ⅱ）若，求證：

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析;（Ⅱ）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，設(shè)的圖象與軸相交于點(diǎn)，由題意可得在該點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值為0，函數(shù)值為0，構(gòu)造方程組可得的值，將題意轉(zhuǎn)化為，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性求出最大值即可；（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)，對(duì)其求導(dǎo)結(jié)合（Ⅰ）可得的單調(diào)性，從而有，化簡(jiǎn)整理可得，運(yùn)用換底公式及（Ⅰ）中的不等式可得 ，再次運(yùn)用可得結(jié)論.

試題解析：（Ⅰ） ， 設(shè)的圖象與軸相交于點(diǎn)，

則即

解得．

所以，

等價(jià)于．

設(shè)，則，

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減，

所以，

即，（*），所以．

（Ⅱ）設(shè)，則，

由（Ⅰ）可知，當(dāng)時(shí)， ，

從而有，所以單調(diào)遞增，

又，所以，

從而有，即，

所以，即，

，

又，所以，

又，所以．

綜上可知， ．