Question

定義在R上的函數(shù)f（x），當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）=x²+x，且對(duì)任意x，滿足f（x-3）=2f（x），則f（x）在區(qū)間[5，7]上的值域是

[-

1

16

，

1

2

]

．

Answer 1

分析：先根據(jù)條件得到f（x）=

1

4

f（x-6），再結(jié)合x(chóng)∈[5，7]⇒x-6⇒[-1，1]；以及當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）的值域即可求出結(jié)論．

解答：解：因?yàn)�；f（x-3）=2f（x），
∴f（x-6）=2f（x-3）=4f（x），
∴f（x）=

1

4

f（x-6），
x∈[5，7]⇒x-6⇒[-1，1]；
∵當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）=x²+x=（x+

1

2

）²-

1

4

∴x=-

1

2

時(shí)，y_min=-

1

4

，
x=1時(shí)，y_max=2．
故當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）∈[-

1

4

，2]．
∴x∈[5，7]
∴f（x）=

1

4

f（x-6）∈[-

1

16

，

1

2

]．
故答案為：[-

1

16

，

1

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察抽象函數(shù)及其應(yīng)用．其中涉及到了二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題．二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值一定要判斷對(duì)稱軸和區(qū)間的位置關(guān)系，避免出錯(cuò)．