Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=2，a₂=3，2a_n+1=3a_n-a_n-1（n≥2）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）求使不等式

an-m

an+1-m

＜

2

3

成立的所有正整數(shù)m，n的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)2a_n+1=3a_n-a_n-1（n≥2），則2（a_n+1-a_n）=a_n-a_n-1（n≥2），利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a_n-a_n-1，再利用“累加求和”即可得到a_n；
（2）將通項(xiàng)公式a_n代入不等式

an-m

an+1-m

＜

2

3

，可求出m的取值范圍，然后討論滿足條件的正整數(shù)m的值，從而求出正整數(shù)n的值．

解答：解：（1）∵2a_n+1=3a_n-a_n-1（n≥2），
∴2（a_n+1-a_n）=a_n-a_n-1（n≥2），
∴數(shù)列{a_n-a_n-1}是以a₂-a₁=1為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列，
則an-an-1=(

1

2

)n-2，（n≥2），
由累加法得：a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=2+1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-2=4-(

1

2

)n-2，（n≥2），
而a₁=2也滿足上式，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=4-(

1

2

)n-2；
（2）不等式

an-m

an+1-m

＜

2

3

即為

4-( 1 2 )n-2-m

4-( 1 2 )n-1-m

＜

2

3

，
∴1-

m

4

＜(

1

2

)n-1＜4-m
∴1-

m

4

＜4-m，即m＜4，
當(dāng)m=1時(shí)，

3

4

＜(

1

2

)n-1＜3，解得n=1，
當(dāng)m=2時(shí)，；

1

2

＜(

1

2

)n-1＜2，解得n=1，
當(dāng)m=3時(shí)，

1

4

＜(

1

2

)n-1＜1，解得n=2，．
∴正整數(shù)m，n的值為：

m=1 n=1

或

m=2 n=1

或

m=3 n=2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意遞推公式的靈活運(yùn)用．屬于中檔題．