Question

（2004•虹口區(qū)一模）橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），B為短軸的一個(gè)頂點(diǎn)，焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，且△BF₁F₂是等邊三角形．
（1）求

b

a

的值；
（2）如直線y=

1

2

x+2交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，且|PQ|=3

5

Z，求橢圓的方程．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，△BOF₂為直角三角形，從而可得

b

a

=sin60°
（2）由（1）可設(shè)a²=4t，b²=3t （t＞0）．則可設(shè)橢圓方程為

x2

4t

+

y2

3t

=1聯(lián)立直線方程．y=

1

2

x+2，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系及弦長(zhǎng)公式|PQ|=

1+k2

|x₁-x₂|可求

解答：解：（1）

b

a

=sin60°=

3

2

． （4分）
（2）設(shè)a²=4t，b²=3t （t＞0）．
則橢圓方程為

x2

4t

+

y2

3t

=1．y=

1

2

x+2代入，得x²+2x+（4-3t）=0
|PQ|=

1+k2

|x₁-x₂|=

15(t-1)

=3

5

∴t=4．
橢圓方程為

x2

16

+

y2

12

=1． （15分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的性質(zhì)的應(yīng)用，及直線與橢圓相交結(jié)合方程的根與系數(shù)的關(guān)系求弦長(zhǎng)，此問(wèn)題具有通法．