Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，且，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為. （2）

【解析】

（1）對函數(shù)進行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可；

（2）令，由，可得，利用分析法和放縮法的思想，通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求最值證得當(dāng)時，對任意，都有即可.

（1）依題意，，，

令，即，解得，

故當(dāng)時，，

當(dāng)時，，

當(dāng)時，，

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，

單調(diào)遞減區(qū)間為，

（2）令，

由題意得，當(dāng)時，，則有，

下面證當(dāng)時，對任意，都有，

由于時，，

所以當(dāng)時，，

故只需證明對任意，都有，

令，則，

所以在上恒成立，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時，，即，

所以，則，

令，，則.

當(dāng)時，，，

所以，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時，，

所以對任意，都有.

所以當(dāng)時，對任意，都有，

故實數(shù)的取值范圍為.