Question

1．已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}中，其前n項(xiàng)和為S_n，且${a_n}=2\sqrt{S_n}-1$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)${b_n}=\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$，T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系及其等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 解：（1）由題設(shè)條件知4S_n=（a_n+1）²，得4S_n+1=（a_n+1+1）²，
兩者作差，得4a_n+1=（a_n+1+1）²-（a_n+1）²．
整理得（a_n+1-1）²=（a_n+1）²．
又?jǐn)?shù)列{a_n}各項(xiàng)均為正數(shù)，∴a_n+1-1=a_n+1，即a_n+1=a_n+2，
故數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，公差為2，又4S₁=4a₁=（a₁+1）²，解得a₁=1，
故有a_n=2n-1
（2）由（1）可得${b_n}=\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{n}{2n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系的應(yīng)用、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．