Question

12．設實數x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤3}\\{-1≤x-y≤0}\end{array}\right.$
（Ⅰ）求z=2x-y的最大值；
（Ⅱ）求z=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$的取值范圍．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域．
（1）化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標代入目標函數得答案；
（2）直接由$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$的幾何意義求得答案．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤3}\\{-1≤x-y≤0}\end{array}\right.$作出可行域如圖，

（1）由z=2x-y，得y=2x-z，
由圖可知，當直線y=2x-z過點B（3，3）時，直線在y軸上的截距最小，z有最大值為2×3-3=3；
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{x-y=-1}\end{array}\right.$，得C（3，4）．
z=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$的幾何意義為可行域內的動點到原點的距離，
由圖可知，z_min=|OA|=$\sqrt{2}$．
z_max=|OC|=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5．
∴z的取值范圍是[$\sqrt{2}$，5]．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數形結合的解題思想方法，是中檔題．