Question

根據(jù)我國汽車制造的現(xiàn)實(shí)情況，一般卡車高3 m，寬1.6 m.現(xiàn)要設(shè)計(jì)橫斷面為拋物線形的雙向二車道的公路隧道，為保障雙向行駛安全，交通管理規(guī)定汽車進(jìn)入隧道后必須保持距中線0.4 m的距離行駛.已知拱口AB寬恰好是拱高OC的4倍，若拱寬為a m，求能使卡車安全通過的a的最小整數(shù)值.

Answer 1

剖析：根據(jù)問題的實(shí)際意義，卡車通過隧道時(shí)應(yīng)以卡車沿著距隧道中線0.4 m到2 m間的道路行駛為最佳路線，因此，卡車能否安全通過，取決于距隧道中線2 m（即在橫斷面上距拱口中點(diǎn)2 m）處隧道的高度是否夠3 m，據(jù)此可通過建立坐標(biāo)系，確定出拋物線的方程后求得.

解：如圖，以拱口AB所在直線為x軸，以拱高OC所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，由題意可得拋物線的方程為x²=-2p(y-),

    ∵點(diǎn)A（-,0）在拋物線上,

    ∴(-)²=-2p(0-),得p=.

    ∴拋物線方程為x²=-a(y-).

    取x=1.6+0.4=2,代入拋物線方程,得

    2²=-a(y-),y=.

    由題意,令y＞3,得＞3,

    ∵a＞0,∴a²-12a-16＞0.

    ∴a＞6+2.

    又∵a∈Z,∴a應(yīng)取14，15，16，….

    答:滿足本題條件使卡車安全通過的a的最小正整數(shù)為14 m.

講評：本題的解題過程可歸納為兩步:一是根據(jù)實(shí)際問題的意義，確定解題途徑，得到距拱口中點(diǎn)2 m處y的值;二是由y＞3通過解不等式，結(jié)合問題的實(shí)際意義和要求得到a的值，值得注意的是這種思路在與最佳方案有關(guān)的應(yīng)用題中是常用的.