Question

11．如圖1，在直角梯形ABCP中，CP∥AB，CP⊥CB，AB=BC=$\frac{1}{2}$CP=2，D是CP的中點(diǎn)，將△PAD沿AD折起，使得PD⊥CD．

（Ⅰ）若E是PC的中點(diǎn)，求證：AP∥平面BDE；
（Ⅱ）求證：平面PCD⊥平面ABCD；
（Ⅲ）求二面角A-PB-C的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OE，推導(dǎo)出OE∥AP，由此能證明AP∥平面BDE．
（Ⅱ）推導(dǎo)出AD⊥PD，AD⊥CD，從而AD⊥平面PCD，由此能證明平面PCD⊥平面ABCD．
（Ⅲ）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A-PB-C的大�。�

解答 證明：（Ⅰ）連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OE，
在正方形ABCD中，O為AC的中點(diǎn)，又因?yàn)镋為PC的中點(diǎn)，
所以O(shè)E為△PAC的中位線，
所以O(shè)E∥AP，
又因?yàn)镺E?平面BDE，AP?平面BDE，
所以AP∥平面BDE．
（Ⅱ）由已知可得AD⊥PD，AD⊥CD，
又因?yàn)镻D∩CD=D，PD，CD?平面PCD，
所以AD⊥平面PCD，
又因?yàn)锳D?平面ABCD，
所以平面PCD⊥平面ABCD．
解：（Ⅲ）由（Ⅱ）知AD⊥平面PCD，所以AD⊥PD，又因?yàn)镻D⊥CD，且AD∩CD=D，
所以PD⊥平面ABCD，
所以以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則P（0，0，2），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），
所以$\overrightarrow{AP}=（-2，0，2）$，$\overrightarrow{AB}=（0，2，0）$，
設(shè)平面APB的一個(gè)法向量為$\overrightarrow m=（a，b，c）$，
所以$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow m•\overrightarrow{AP}=0\\ \overrightarrow m•\overrightarrow{AB}=0\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}2b=0\\-2a+2c=0\end{array}\right.$
令a=1，則c=1，從而$\overrightarrow m=（1，0，1）$，
同理可求得平面PBC的一個(gè)法向量為$\overrightarrow n=（0，1，1）$，
設(shè)二面角A-PB-C的大小為θ，易知$θ∈（\frac{π}{2}，π）$，
所以$cosθ=-|cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞|=-\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{|\overrightarrow m|•|\overrightarrow n|}=-\frac{1}{2}$，所以$θ=\frac{2π}{3}$，
所以二面角A-PB-C的大小為$\frac{2π}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查線面平行、面面垂直的證明，考查二面角的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．