Question

自圓O外一點(diǎn)P引圓的一條切線PA，切點(diǎn)為A，M為PA的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M引圓O的割線交該圓于B、C兩點(diǎn)，且∠BMP=100°，∠BPC=40°，求∠MPB的大�。�

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)MA為圓O的切線，由切割線定理得MA²=MB•MC．從而MP²=MB•MC．依據(jù)相似三角形的判定方法得：△BMP∽△PMC得出∠MPB=∠MCP．最后在△MCP中，即得∠MPB．
解答：選修4-1：幾何證明選講，
解：因?yàn)镸A是圓O的切線，所以MA²=MB•MC（2分）
又M是PA的中點(diǎn)，所以MP²=MB•MC
因?yàn)椤螧MP=∠PMC，所以△BMP∽△PMC（6分）
于是∠MPB=∠MCP，
在△MCP中，由∠MPB+∠MCP+∠BPC+∠BMP=180°，
即 100°+2∠MPB+40°=180°；
得∠MPB=20°（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓當(dāng)中的比例線段，以及三角形相似的有關(guān)知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．找到題中的相似三角形來(lái)得到角的相等，是解決本題的關(guān)鍵．