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已知拋物線關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)M()，請問這樣的拋物線有幾條？并求出其方程.

思路分析：本題考查拋物線性質(zhì)及標(biāo)準(zhǔn)方程的求法.根據(jù)題目意思：拋物線關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，此時(shí)符合條件的拋物線有4條，再由條件這條拋物線經(jīng)過定點(diǎn)，因此其范圍被縮小到2條.

解：因?yàn)閽佄锞�關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所以應(yīng)分兩種情況：

焦點(diǎn)在x軸上，可設(shè)其方程為y2=2px(p≠0)；

焦點(diǎn)在y軸上，可設(shè)其方程為x2=2my(m≠0).

又拋物線經(jīng)過點(diǎn)M()，∴()2=2p()或()2=2m()；

∴p=，m=.即所求方程為y2=x或x2=y.

故這樣的拋物線共兩條，一條開口向右，一條開口向下.其方程分別為y2=x或x2=y.

    方法點(diǎn)撥 在求解拋物線方程時(shí)，若不知拋物線開口方向時(shí)，可設(shè)參數(shù)p≠0；而不知對(duì)稱軸為何軸時(shí)，研究方程應(yīng)分兩種情形.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)F與P（2，-1）關(guān)于直線l：x-y-2=0對(duì)稱，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓經(jīng)過兩點(diǎn)M（1，
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2
），N（-
2
，
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2
），且拋物線與橢圓交于兩點(diǎn)A（xA，yA）和B（xB，yB），且xA＜xB．
（1）求出拋物線方程與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線l′與拋物線相切于點(diǎn)A，試求直線l′與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積；
（3）若（2）中直線l′與圓x2-2mx+y2+2y+m2-
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=0恒有公共點(diǎn)，試求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

注意：第（3）小題平行班學(xué)生不必做，特保班學(xué)生必須做．
已知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線x2=4y的焦點(diǎn)，離心率e=
2
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，過橢圓的右焦點(diǎn)F作與坐標(biāo)軸不垂直的直線l，交橢圓于A、B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)M（m，0）是線段OF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且(
MA
+
MB
)⊥
AB
，求m的取值范圍；
（3）設(shè)點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)N，使得C、B、N三點(diǎn)共線？若存在，求出定點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•福建模擬）已知中心的坐標(biāo)原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的雙曲線C過點(diǎn)Q(2，
3
3
)，且點(diǎn)Q在x軸上的射影恰為該雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)F1
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）命題：“過橢圓
x2
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+
y2
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=1的一個(gè)焦點(diǎn)F作與x軸不垂直的任意直線l”交橢圓于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)M，則
|AB|
|FM|
為定值，且定值是
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”．命題中涉及了這么幾個(gè)要素：給定的圓錐曲線E，過該圓錐曲線焦點(diǎn)F的弦AB，AB的垂直平分線與焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸的交點(diǎn)M，AB的長度與F、M兩點(diǎn)間距離的比值．試類比上述命題，寫出一個(gè)關(guān)于拋物線C的類似的正確命題，并加以證明
（Ⅲ）試推廣（Ⅱ）中的命題，寫出關(guān)于圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）的統(tǒng)一的一般性命題（不必證明）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知拋物線C：x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)F與P（2，-1）關(guān)于直線l：x-y-2=0對(duì)稱，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓經(jīng)過兩點(diǎn)M（1，數(shù)學(xué)公式），N（-數(shù)學(xué)公式，數(shù)學(xué)公式），且拋物線與橢圓交于兩點(diǎn)A（xA，yA）和B（xB，yB），且xA＜xB．
（1）求出拋物線方程與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線l′與拋物線相切于點(diǎn)A，試求直線l′與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積；
（3）若（2）中直線l′與圓x2-2mx+y2+2y+m2-數(shù)學(xué)公式=0恒有公共點(diǎn)，試求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)備考綜合模擬試卷（5）（解析版） 題型：解答題

已知拋物線C：x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)F與P（2，-1）關(guān)于直線l：x-y-2=0對(duì)稱，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓經(jīng)過兩點(diǎn)M（1，），N（-，），且拋物線與橢圓交于兩點(diǎn)A（xA，yA）和B（xB，yB），且xA＜xB．
（1）求出拋物線方程與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線l′與拋物線相切于點(diǎn)A，試求直線l′與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積；
（3）若（2）中直線l′與圓x2-2mx+y2+2y+m2-=0恒有公共點(diǎn)，試求m的取值范圍．

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