Question

已知x，y，z＞0，并且

x2

1+x2

+

y2

1+y2

+

z2

1+z2

=2，求證：

x

1+x2

+

y

1+y2

+

z

1+z2

≤

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明

專題：證明題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：構(gòu)造三棱錐V-ABC中，VA，VB，VC兩兩垂直，高VO=1，設(shè)OA=x，OB=y，OC=z，∠OVA=α，∠OVB=β，∠OVC=γ，由條件推出得sin²α+sin²β+sin²γ=2，則cos²α+cos²β+cos²γ=1，即有

1

1+x2

+

1

1+y2

+

1

1+z2

=1，再由柯西不等式，即可得證．

解答： 證明：在三棱錐V-ABC中，VA，VB，VC兩兩垂直，高VO=1，
設(shè)OA=x，OB=y，OC=z，∠OVA=α，∠OVB=β，∠OVC=γ，
VA²=1+x²，VB²=1+y²，VC²=1+z²，
由

x2

1+x2

+

y2

1+y2

+

z2

1+z2

=2，得sin²α+sin²β+sin²γ=2，
則cos²α+cos²β+cos²γ=1，即有

1

1+x2

+

1

1+y2

+

1

1+z2

=1，
由柯西不等式（

x2

1+x2

+

y2

1+y2

+

z2

1+z2

）（

1

1+x2

+

1

1+y2

+

1

1+z2

）
≥（

x

1+x2

•

1

1+x2

+

y

1+y2

•

1

1+y2

+

z

1+z2

•

1

1+z2

）²，
則

x

1+x2

+

y

1+y2

+

z

1+z2

≤

2

成立．

點(diǎn)評：本題考查不等式的證明，考查運(yùn)用柯西不等式證明不等式，但必須構(gòu)造三棱錐證得一個(gè)等式，具有一定的難度．