Question

1．設(shè)f（x）在區(qū)間[-a，a]上具有二階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，a＞0，f（0）=0．證明：在（-a，a）內(nèi)至少存在一點(diǎn)η，使a³f″（η）=3${∫}_{-a}^{a}f（x）dx$．

Answer 1

分析 根據(jù)拉格朗日中值定理即可證明．

解答 證明：帶有拉格朗日余項(xiàng)的一階麥克勞林公式
f（x）=f（0）+f'（0）x+$\frac{1}{2}$f''（η）x² η在0與x之間
=$\frac{1}{2}$f''（η）x²，
∴3${∫}_{-a}^{a}f（x）dx$=3${∫}_{-a}^{a}$$\frac{1}{2}$f''（η）x²dx
=$\frac{3}{2}$f''（η）×（$\frac{1}{3}$x³）|${\;}_{-a}^{a}$，
=a³f''（η），問題得以證明．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拉格朗日中值定理，屬于基礎(chǔ)題．