Question

已知a≤-

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2

，求證：關于x的三個方程：x²+4ax+3-4a=0，x²+（a-1）x+a²=0，x²+4ax-15a+4=0中至少有一個方程有實數(shù)根．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：根據(jù)二次方程根的個數(shù)與△符號的關系，我們可以求出關于x的三個方程：x²+4ax+3-4a=0，x²+（a-1）x+a²=0，x²+4ax-15a+4=0均無根的a的范圍，進而得到答案．

解答： 證明：不妨假設三個方程x²+4ax+3-4a=0，x²+（a-1）x+a²=0，x²+4ax-15a+4=0都沒有實數(shù)根，
則有

16a2+16a-12＜0 (a-1)2-4a2＜0 16a2+60a-16＜0

解得-

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2

＜a＜-1，
∴當a≤-

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2

或a≥-1時，三個方程中至少有一個方程有實數(shù)根，
又∵由題設：a≤-

3

2

故當a≤-

3

2

時，三個方程x²+4ax-4a+3=0，x²+（a-1）x+a²=0，x²+4ax-15a+4=0至少有一個方程有實根．

點評：本題考查的知識點是二次方程根的個數(shù)與△符號的關系，其中利用“正難則反”的原則，求出三個方程均無實根時a的范圍，是解題的關鍵．