Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為，以定點A為球心，2為半徑作一個球，則球面與正方體的各個表面相交所得到的弧長之和為________．

Answer 1

分析：球面與正方體的六個面都相交，所得的交線分為兩類：一類在頂點A所在的三個面上，即面AA₁B₁B、面ABCD和面AA₁D₁D上；另一類在不過頂點A的三個面上，即面BB₁C₁C、面CC₁D₁D和面A₁B₁C₁D₁上．由空間幾何知識能求出這兩段弧的長度之和，從而求出球面與正方體的各個表面相交所得到的弧長之和．
解答：如圖，球面與正方體的六個面都相交，
所得的交線分為兩類：一類在頂點A所在的三個面上，即面AA₁B₁B、面ABCD和面AA₁D₁D上；
另一類在不過頂點A的三個面上，即面BB₁C₁C、面CC₁D₁D和面A₁B₁C₁D₁上．
在面AA₁B₁B上，交線為弧EF且在過球心A的大圓上，因為AE=2，AA₁=，
則∠A₁AE=．同理∠BAF=，所以∠EAF=，
故弧EF的長為：2×=，
而這樣的弧共有三條．
在面BB₁C₁C上，交線為弧FG且在距球心為1的平面與球面相交所得的小圓上，
此時，小圓的圓心為B，半徑為1，∠FBG=，
所以弧FG的長為：=．
這樣的弧也有三條．于是，所得的曲線長為：
3×=．
故答案為：．
點評：本題主要考查了立體幾何，以及弧長公式的運用，同時考查了空間想象能力，屬于中檔題．