Question

【題目】某校在圓心角為直角，半徑為的扇形區(qū)域內(nèi)進(jìn)行野外生存訓(xùn)練.如圖所示，在相距的，兩個(gè)位置分別為300,100名學(xué)生，在道路上設(shè)置集合地點(diǎn)，要求所有學(xué)生沿最短路徑到點(diǎn)集合，記所有學(xué)生進(jìn)行的總路程為.

（1）設(shè)，寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；

（2）當(dāng)最小時(shí)，集合地點(diǎn)離點(diǎn)多遠(yuǎn)？

Answer 1

【答案】（1），

（2）集合地點(diǎn)離出發(fā)點(diǎn)的距離為時(shí)，總路程最短，其最短總路程為.

【解析】

（1）△AOD中，由正弦定理求得AD、OD，再計(jì)算S＝300AD+100BD的值；

（2）令函數(shù)y＝，求導(dǎo)判斷函數(shù)單調(diào)性與最值，從而求出y的最小值以及對(duì)應(yīng)AD的值和S的最小值．

（1）因?yàn)樵?/span>中，，，所以由正弦定理可知，

解得，，且，

故 ，

（2）令，則有，令得

記，，列表得

		0
	↘	極小值	↗

可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有極小值也是最小值為，

當(dāng)時(shí)，此時(shí)總路程有最小值.

答：當(dāng)集合點(diǎn)離出發(fā)點(diǎn)的距離為時(shí)，總路程最短，其最短總路程為.