Question

已知數列{a_n}的各項均為正數，前n項和為S_n，且滿足2S_n＝a＋n－4(n∈N^*)．

(1)求證：數列{a_n}為等差數列；

(2)求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

解：(1)證明：當n＝1時，有2a₁＝a＋1－4，

即a－2a₁－3＝0，

解得a₁＝3(a₁＝－1舍去)．

當n≥2時，有2S_n－1＝a＋n－5，

又2S_n＝a＋n－4，

兩式相減得2a_n＝a－a＋1，

即a－2a_n＋1＝a，也即(a_n－1)²＝a，

因此a_n－1＝a_n－1或a_n－1＝－a_n－1.

若a_n－1＝－a_n－1，則a_n＋a_n－1＝1.

而a₁＝3，所以a₂＝－2，這與數列{a_n}的各項均為正數相矛盾，所以a_n－1＝a_n－1，

即a_n－a_n－1＝1，因此數列{a_n}為首項為3，公差為1的等差數列．

(2)由(1)知a₁＝3，d＝1，

所以數列{a_n}的通項公式

a_n＝3＋(n－1)×1＝n＋2，即a_n＝n＋2.