Question

如圖,在正四棱錐P—ABCD中,E是側(cè)棱PB的中點,側(cè)棱PA與底面ABCD所成角的正切值為.

(1)求側(cè)面PAD與底面ABCD所成的二面角的大小;

(2)求異面直線PD與AE所成角的正切值;

(3)在側(cè)面PAD上尋找一點F,使EF⊥側(cè)面PBC,試確定點F的位置,并證明你找出的點F滿足EF⊥側(cè)面PBC.

Answer 1

解：方法一:設(shè)底面正方形ABCD的中心為O,邊長為a,

由已知得PO⊥平面ABCD,AO=a.

(1)取AD的中點M,連結(jié)MO、PM,根據(jù)已知可得∠PMO為側(cè)面PAD與底面ABCD所成的二面角的平面角,

∠PAO為側(cè)棱PA與底面ABCD所成的角,∵tan∠PAO=,

∴PO=·a=a,tan∠PMO=.∴∠PMO=60°.

∴側(cè)面PAD與底面ABCD所成的二面角的大小為60°.

(2)連結(jié)OE,OE∥PD,∴∠OEA為異面直線PD與AE所成的角,

而OE=PD=,

∴tan∠AEO=.∴異面直線PD與AE所成角的正切值為.

(3)F在線段AD上,且AF=AD.

延長MO交BC于N,取PN的中點G,連結(jié)EG、MG,

∴平面PMN⊥平面PBC.∴MG⊥PN.

∵平面PMN∩平面PBC=PN,∴MG⊥平面PBC.∵EG∥MF,∴MF=MA=EG.

∴EF∥MG.∴EF⊥平面PBC.

方法二:設(shè)正方形ABCD的中心為O,邊長為a,以射線OA、OB、OP分別為x軸、y軸、z軸

正半軸,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,根據(jù)已知可得PO=,

故A(,0,0),B(0,,0),C(-,0,0),D(0,-,0),P(0,0,).

(1)可以求得底面ABCD的一個法向量n₁=(0,0,1),側(cè)面PAD的一個法向量n₂=(1,-1,),

根據(jù)已知側(cè)面PAD與底面ABCD所成的二面角是銳角,設(shè)為θ,則

cosθ==,∴θ=.故側(cè)面PAD與底面ABCD所成的二面角的大小為.

(2)由已知得E(0,,),=(0,-,-),(-,,),

設(shè)PD與AE所成角為α,則cosα=,∴tanα=,即異面直線PD與AE所成角的正切值為.

(3)F在線段AD上,且AF=AD.

設(shè)F(x,y,z),則=(x,y-,z-),

根據(jù)已知P、A、F、D共面,即⊥n₂,且,,

∴解之,得

∴F在線段AD上,且AF=AD.