Question

7．已知f（x）=（x+m）²ⁿ⁺¹與g（x）=（mx+1）²ⁿ（n∈N^*，m≠0）．
（Ⅰ）若n=3，f（x）與g（x）展開式中含x³項的系數(shù)相等，求實數(shù)m的值；
（Ⅱ）若f（x）與g（x）展開式中含xⁿ項的系數(shù)相等，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）n=3時，求出f（x）與g（x）展開式中的含x³項，利用系數(shù)相等，列出方程求m的值；
（Ⅱ）求出f（x）與g（x）展開式中含xⁿ的項，利用系數(shù)相等列出方程求出m的表達(dá)式，再求m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)n=3時，f（x）=（x+m）⁷的展開式中
T_r+1=${C}_{7}^{r}$x^7-rm^r，
令7-r=3，解得r=4，
∴f（x）展開式中含x³的項是${C}_{7}^{4}$m⁴x³；
同理，g（x）=（mx+1）⁶展開式中的含x³項是${C}_{6}^{3}$m³x³；
由題意得：${C}_{7}^{4}$m⁴=${C}_{6}^{3}$m³，…（3分）
解得m=$\frac{4}{7}$；   …（6分）
（Ⅱ）∵f（x）=（x+m）²ⁿ⁺¹展開式中的通項公式為T_r+1=${C}_{2n+1}^{r}$x^2n+1-rm^r，
令2n+1-r=n，
解得r=n+1；
∴展開式中含xⁿ的項為${C}_{2n+1}^{n+1}$mⁿ⁺¹xⁿ；
同理g（x）=（mx+1）²ⁿ展開式中含xⁿ的項為${C}_{2n}^{n}$mⁿxⁿ，
由題意得${C}_{2n+1}^{n+1}$mⁿ⁺¹=${C}_{2n}^{n}$mⁿ，
解得m=$\frac{n+1}{2n+1}$=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2n+1}$）；  …（9分）
∵n∈N^*，∴0＜$\frac{1}{2n+1}$≤$\frac{1}{2×1+1}$，
∴1＜1+$\frac{1}{2n+1}$≤1+$\frac{1}{3}$，
即$\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2n+1}$）≤$\frac{2}{3}$，
即m∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$]．  …（12分）

點(diǎn)評 本題考查了二項式定理的應(yīng)用問題，也考查了方程與不等式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．