Question

12．若$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$是夾角為$\frac{π}{3}$的兩個(gè)單位向量，則$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$；$\overrightarrow$=-3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$的夾角為（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 由條件可以得到$|\overrightarrow{{e}_{1}}|=1，|\overrightarrow{{e}_{2}}|=1$，$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}=\frac{1}{2}$，然后進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算便可求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=-\frac{7}{2}$，${\overrightarrow{a}}^{2}=7，{\overrightarrow}^{2}=7$，從而根據(jù)向量夾角余弦的計(jì)算公式即可求出$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=-\frac{1}{2}$，這樣便可得出向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的夾角．

解答 解：根據(jù)條件，$|\overrightarrow{{e}_{1}}|=|\overrightarrow{{e}_{2}}|=1$，$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}=\frac{1}{2}$；
$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=（2\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}）•（-3\overrightarrow{{e}_{1}}+2\overrightarrow{{e}_{2}}）$=$-6{\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}+\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}+2{\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}$=$-6+\frac{1}{2}+2=-\frac{7}{2}$，${\overrightarrow{a}}^{2}=4{\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}+4\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}+{\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}=7$，${\overrightarrow}^{2}=9{\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}-12\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}+4{\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}=7$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}=\frac{-\frac{7}{2}}{\sqrt{7}•\sqrt{7}}=-\frac{1}{2}$；
∴$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的夾角為$\frac{2π}{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評 考查單位向量的概念，向量數(shù)量積的運(yùn)算及其計(jì)算公式，向量夾角余弦的計(jì)算公式，以及已知三角函數(shù)求角，清楚向量夾角的范圍．