Question

17．設函數(shù)$f（x）={2^{\sqrt{-{x^2}+2x+\frac{5}{4}}}}$，對于給定的正數(shù)K，定義函數(shù)f_g（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{f（x），f（x）≥K}\\{K，f（x）＜K}\end{array}}$，若對于函數(shù)$f（x）={2^{\sqrt{-{x^2}+2x+\frac{5}{4}}}}$定義域內的任意x，恒有f_g（x）=f（x），則（　　）

• A． K的最小值為1
• B． K的最大值為1
• C． K的最小值為$2\sqrt{2}$
• D． K的最大值為$2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 若對于函數(shù)$f（x）={2^{\sqrt{-{x^2}+2x+\frac{5}{4}}}}$定義域內的任意x，恒有f_g（x）=f（x），則f（x）≥K恒成立，求出f（x）的最小值，即為K的最大值．

解答 解：若對于函數(shù)$f（x）={2^{\sqrt{-{x^2}+2x+\frac{5}{4}}}}$定義域內的任意x，恒有f_g（x）=f（x），
則f（x）≥K恒成立，
∵$f（x）={2}^{\sqrt{-{x}^{2}+2x+\frac{5}{4}}}$≥2⁰=1，
故K≤1，
即K的最大值為1，
故選：B．

點評 本題考查的知識是恒成立問題，函數(shù)的最值，正確理解恒有f_g（x）=f（x）的意義，是解答的關鍵．