Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，點E在⊙O上，C為 的中點，過點C作直線CD⊥AE于D，連接AC、BC．

（1）試判斷直線CD與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若AD=2，AC= ，求AB的長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：相切，連接OC，

∵C為 的中點，

∴∠1=∠2，

∵OA=OC，

∴∠1=∠ACO，

∴∠2=∠ACO，

∴AD∥OC，

∵CD⊥AD，

∴OC⊥CD，

∴直線CD與⊙O相切；

（2）

解：方法1：連接CE，

∵AD=2，AC= ，

∵∠ADC=90°，

∴CD= = ，

∵CD是⊙O的切線，

∴CD2=ADDE，

∴DE=1，

∴CE= = ，

∵C為 的中點，

∴BC=CE= ，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴AB= =3．

方法2：∵∠DCA=∠B，

易得△ADC∽△ACB，

∴ = ，

∴AB=3．

【解析】本題考查了直線與圓的位置關系，切線的判定和性質，圓周角定理，勾股定理，平行線的性質，切割線定理，熟練掌握各定理是解題的關鍵．（1）連接OC，由C為 的中點，得到∠1=∠2，等量代換得到∠2=∠ACO，根據平行線的性質得到OC⊥CD，即可得到結論；
（2）連接CE，由勾股定理得到CD= = ，根據切割線定理得到CD2=ADDE，根據勾股定理得到CE= = ，由圓周角定理得到∠ACB=90°，即可得到結論．
【考點精析】通過靈活運用直線與圓的三種位置關系，掌握直線與圓有三種位置關系：無公共點為相離；有兩個公共點為相交,這條直線叫做圓的割線；圓與直線有唯一公共點為相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點叫做切點即可以解答此題．