Question

已知拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F，直線l₁與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B，直線l₂與拋物線交于不同的兩點(diǎn)C、D．
（Ⅰ）當(dāng)l₁過F時，在l₁上取不同于F的點(diǎn)P，使得

|FA|

|FB|

=

|PA|

|PB|

，求點(diǎn)P的軌跡方程；
（Ⅱ）若l₁與l₂相交于點(diǎn)Q，且傾斜角互補(bǔ)時，|QA|•|QB|=a|QC|•|QD|，求實數(shù)a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）先設(shè)出A，B，P的坐標(biāo)，及兩直線的方程，代入拋物線方程利用韋達(dá)定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，設(shè)出A，B，F(xiàn)，P在y軸的投影利用比例關(guān)系求得-

y1

y2

=

y-y1

y-y2

，整理后消去m得到P的軌跡方程．
（Ⅱ）設(shè)出A，B，C，D，Q的坐標(biāo)以及兩直線方程，代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理分別求得x₁+x₂和x₁x₂，x₃+x₄和x₃x₄，表達(dá)式，進(jìn)而表示出|QA|•|QB|和|QC|•|QD|，利用x₀的坐標(biāo)代入求得a．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），因P不同于F，知P不在線段AB上，
設(shè)l₁：x=my+1，代入y²=4x，得y²-4my-4=0，
則y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，
設(shè)A，B，F(xiàn)，P在y軸的投影分別是A′，B′，F(xiàn)′，P′，
則

|F′A′|

|F′B′|

=

|P′A′|

|P′B′|

，|

y1

y2

|=

|y-y1|

|y-y2|

，
由于y₁，y₂異號，P不在線段AB上，則y-y₁與y-y₂同號，
∴-

y1

y2

=

y-y1

y-y2

，即（y₁+y₂）•y=2y₁y₂，
∴my=-2，
而x=my+1，
∴x=-1，（y≠0），
∴P點(diǎn)的軌跡方程為x=-1（y≠0）．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），Q（x₀，y₀），
l₁：y=kx+m，l₂：y=-kx+n，代入y²=4x，得k²x²+（2km-4）x+m²=0，k²x²+（-2kn-4）+n²=0
則x₁+x₂=

4-2km

k2

，x₁x₂=

m2

k2

，x₃+x₄=

2kn+4

k2

，x₃x₄=

n2

k2

，
則|QA|•|QB|=

k2+1

|x₁-x₀|•

k2+1

|x₂-x₀|=（k²+1）|x₁x₂-x₀（x₁+x₂）+

x

2 0

|
|QC|•|QD|=

k2+1

•|x₃-x₀|•

k2+1

•|x₄-x₀|=（k²+1）|x₃x₄-x₀（x₃+x₄）+

x

2 0

|，
而[x₁x₂-x₀（x₁+x₂）+

x

2 0

]-[x₃x₄-x₀（x₃+x₄）+

x

2 0

]=x₁x₂-x₃x₄+x₀[（x₃+x₄）-（x₁+x₂）]
=

m2

k2

-

n2

k2

+x₀[

2kn+4

k2

-

4-2km

k2

]
=

m2-n2

k2

+x₀•

2k(n+m)

k2

，①
又Q在l₁上也在l₂上，
∴

y0=kx0+m y0=-kx0+n

，則2kx₀=n-m，
∴x₀=

n-m

2k

，
∴①式可化為

m2-n2

k2

+

n-m

2k

•

2k(n+m)

k2

=

m2-n2

k2

-

m2-n2

k2

=0，
∴a=1．

點(diǎn)評：本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系．常把直線方程與拋物線方程聯(lián)系消元，利用韋達(dá)定理建立等式解決問題．