Question

如圖，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱長都等于2，∠ABC=60°，平面AA₁CC₁⊥平面ABCD，∠A₁AC=60°
（1）求二面角D-A₁A-C的大�。�
（2）求點B₁到平面A₁ADD₁的距離
（3）在直線CC₁上是否存在P點，使BP∥平面DA₁C₁，若存在，求出點P的位置；若不存在，說出理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)BD與AC交于O，作OK⊥AA₁于K，連接DK，則DK⊥AA₁，OD⊥OK，故∠DKO為二面角D-A₁A-C的平面角，從而可求二面角D-A₁A-C的大�。�
（2）連結(jié)A₁O、A₁B，由于B₁B∥平面A₁A DD₁，所以B、B₁到平面A₁A DD₁的距離相等，由，可求點B₁到平面A₁ADD₁的距離；
（3）存在，點P在C₁C的延長線上且CP=C₁C，利用線面平行的判定定理，可得結(jié)論．
解答：解：（1）設(shè)BD與AC交于O，作OK⊥AA₁于K，連接DK，則DK⊥AA₁，OD⊥OK，
故∠DKO為二面角D-A₁A-C的平面角，
∵∠OAK=60°，∴OK=
在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°
∴AC=AB=BC=2
∴AO=1，DO==
∴tan∠DKO=2，
∴二面角D-A₁A-C的平面角的余弦值是
∴二面角D-A₁A-C的大小為；
（2）連結(jié)A₁O、A₁B，由于B₁B∥平面A₁A DD₁，所以B、B₁到平面A₁A DD₁的距離相等，
設(shè)點B到平面A₁A DD₁的距離等于h．
在△AA₁O中，=3
∴
∴A₁O⊥AO
而平面A A₁C₁C⊥平面ABCD，∴A₁O⊥平面ABCD
由上述第（1）問有，ED⊥A₁A₁且=
∴==
又==
由有
∴=
即點B₁到平面A₁ADD₁的距離
（3）存在，點P在C₁C的延長線上且CP=C₁C，證明如下：
延長C₁C到P使CP=C₁C，連接B₁C，BP，則BP∥B₁C
∴BP∥A₁D
又A₁D 平面?DA₁C₁，BP?平面DA₁C₁，
∴BP∥平面DA₁C₁．
點評：本題主要考查了二面角及其度量，考查空間中直線與平面之間的位置關(guān)系，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于中檔題．