Question

如圖，側(cè)棱垂直底面的三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC位于平行四邊形ACDE中，AE=2，AC=AA₁=4，∠E=60°，點B為DE中點．
（1）求證：平面A₁BC⊥平面A₁ABB₁．
（2）求A₁C與平面A₁ABB₁所成的角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）要證明平面A₁BC⊥平面A₁ABB₁，只要從平面A₁BC中找一條直線和平面A₁ABB₁垂直即可，容易證明BC⊥平面ABB₁A₁，且BC?平面A₁BC；
（2）根據(jù)（1）便知∠CA₁B是A₁C和平面ABB₁A₁所成的角，所以在Rt△CBA₁中，求出BC，A₁C的長度即可．

解答： 解：（1）證明：根據(jù)已知條件知：∠EBA=60°，∠DBC=30°；
∴∠ABC=90°，即BC⊥AB；
又AA₁⊥底面ABC，BC?底面ABC；
∴AA₁⊥BC即BC⊥AA₁，AB∩AA₁=A；
∴BC⊥平面ABB₁A₁，BC?平面A₁BC；
∴平面A₁BC⊥平面ABB₁A₁；
（2）由（1）知BC⊥平面ABB₁A₁，∴∠CA₁B即是A₁C和平面ABB₁A₁所成的角，且△CA₁B是Rt△，∠CBA₁=90°；
由已知條件及（1）知：AB=2，AC=AA₁=4，∠ABC=∠A₁AC=90°，∴BC=

12

，A1C=

32

；
∴sin∠CA1B=

12

32

=

6

4

．

點評：考查平角為180°，線面垂直的性質(zhì)，線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，線面角的定義．