Question

17．已知$f（x）=\frac{1-x}{1+x}$，數列{a_n}滿足${a_1}=\frac{1}{2}$，對于任意n∈N^*都滿足a_n+2=f（a_n），且a_n＞0，若a₂₀=a₁₈，則a₂₀₁₆+a₂₀₁₇的值為$\sqrt{2}-\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 確定數列的周期為4，求出a₂₀₁₇=$\frac{1}{2}$，a₂₀₁₆=$\sqrt{2}$-1，即可得出結論．

解答 解：由題意，${a_1}=\frac{1}{2}$，a_n+2=f（a_n），且a_n＞0，
∴a₃=$\frac{1}{3}$，a₅=$\frac{1}{2}$，a₇=$\frac{1}{3}$，a₉=$\frac{1}{2}$，…，∴a₂₀₁₇=$\frac{1}{2}$，
∵a_n+2=f（a_n），∴a_n+4=f（a_n+2），∴a_n+4=$\frac{1-\frac{1-{a}_{n}}{1+{a}_{n}}}{1+\frac{1-{a}_{n}}{1+{a}_{n}}}$=a_n，即數列的周期為4
a₂₀=a₁₈=t，則t=$\frac{1-t}{1+t}$，∴t²+2t-1=0，∵t＞0，∴t=$\sqrt{2}$-1，
∴a₂₀₁₆=$\sqrt{2}$-1，
∴a₂₀₁₆+a₂₀₁₇=$\sqrt{2}-1+\frac{1}{2}$=$\sqrt{2}-\frac{1}{2}$，
故答案為：$\sqrt{2}-\frac{1}{2}$．

點評 本題考查數列與函數的綜合，考查數列的周期性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．