Question

13．已知a＞0，設命題p：函數y=a^x在R上單調遞減，命題q：對任意實數x都有x²-3ax+1＞0恒成立；若p和q中有且只有一個命題為真命題，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 分別求出p，q為真時的a的范圍，通過討論p，q的真假，得到關于a的不等式組，解出即可．

解答 解：若函數y=a^x在R上單調遞減，則0＜a＜1，
故p為真時：0＜a＜1；
若對任意實數x都有x²-3ax+1＞0恒成立，
則△=9a²-4＜0，解得：0＜a＜$\frac{2}{3}$，
故q為真時：0＜a＜$\frac{2}{3}$，
若p和q中有且只有一個命題為真命題，
則$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{a≥\frac{2}{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a≥1}\\{0＜a＜\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{2}{3}$≤a＜1．

點評 本題考查了復合命題的判定，考查指數函數以及二次函數的性質，是一道中檔題．